（问题）信息技术快速迭代、复杂系统研究需求不断增长的背景下，如何用更统一的数学语言描述空间结构、比较复杂对象并服务现实问题，已成为基础数学与应用研究共同关注的课题；几何学作为研究“形状、结构与不变量”的核心学科，理论与应用边界持续延展：一上需要回到理论源头把握现代几何的基本原则，另一方面也必须回应数据、网络等新对象带来的方法挑战。 （原因）本次论坛邀请国际知名数学家Jürgen Jost作报告，旨在通过高水平学术交流梳理现代几何的概念体系与研究脉络，推动几何、拓扑与计算等方向的交叉融合。报告由复旦大学数学科学学院院长沈维孝主持，面向师生系统呈现几何学从“研究图形”到“研究空间本身”、从连续到离散、从纯理论到跨学科应用的演变逻辑。Jost在报告中指出，古典欧氏几何主要关注给定空间内图形及刚体运动下的不变量，研究重心更多在尺规作图、度量与对称，而非“空间”的内在结构；微积分的出现为曲率、测地线、极小曲面等概念提供了工具，推动几何与分析深度结合，并为几何分析等分支奠定基础。 （影响）在现代几何框架的形成过程中，“内蕴”观点是关键转折。Jost结合高斯参与土地测量的历史背景，阐释“绝妙定理”揭示的曲率内蕴性，强调该区分改变了曲面研究范式，使几何学从依赖外部嵌入的描述转向关注对象自身的度量结构。随后，黎曼在19世纪提出流形、度量张量等概念，将几何推广到任意维数，建立了微分几何的整体框架，并使曲率张量等不变量成为刻画空间结构的核心工具。报告也回顾了黎曼几何在广义相对论、高能物理等领域的基础作用，说明基础理论对重大科学问题具有持久的牵引力与解释力。 （对策）面对新兴研究对象的复杂性，Jost强调曲率概念需突破光滑流形的限制，向一般度量空间与离散结构扩展。报告介绍了用三角形比较来刻画曲率的思路，以及在图与网络上构造离散曲率的多种路径，包括Forman-Ricci曲率、Ollivier-Ricci曲率等方法，并结合脑网络、交通网络与高维数据可视化等案例，说明几何量化指标可用于识别结构差异、辅助机制解释，并提升建模与分析的可操作性。Jost提出，广义曲率研究很难依靠单一通用框架，更需要微分几何、拓扑、概率与数据分析等工具协同，围绕具体问题形成可验证、可计算、可解释的方法体系，保持面向真实场景的研究取向。 （前景）与会学者认为，几何与拓扑方法正逐步成为理解复杂数据与网络结构的重要支撑。随着跨学科研究深入，面向离散对象的几何化描述有望在科学计算、生命科学、工程系统与智能技术等领域释放更大潜力。报告结束后，现场师生围绕曲率不变量的直观含义、离散曲率的适用边界、几何方法与数据分析结合的技术路线等展开交流，讨论集中在基础理论的严谨性与应用落地的可行性。
从丈量土地的绳索到解析宇宙的方程，几何学的发展映照着人类认知的不断升级。当基础数学持续拓展边界，它所孕育的创新力量也在悄然改变我们理解世界的方式。这场跨越两千年的思想接力，仍在写下新的章节。