大家好，我是《小石子里的数学》的主讲人，今天咱们聊聊怎么把数和形结合起来。这个概念从古希腊时代就开始了，特别是毕达哥拉斯，他发现把石子摆成三角形或者正方形的时候，能找到很多有趣的规律。比如摆3颗石子能成三角形数，摆4颗就能成正方形数。再往大里摆，五边形数、六边形数也都有类似的情况。更神奇的是，任意两个相邻的三角形数相加，结果肯定是一个正方形数。反过来，每个正方形数也能拆分成两个相邻的三角形数。这个发现把图形和数字的关系紧密联系了起来。 古希腊的小朋友们在沙滩上玩石子，这些实验被阿基米德、尼克马霍斯还有阿耶波多进一步发展了。阿基米德推导出了平方和的公式，尼克马霍斯在书里系统整理了形数的知识。阿耶波多算出前n个三角数的和是多少。最后高斯在1801年证明了一个正整数最多可以表示成三个三角形数的和。这个过程从17世纪一直持续到19世纪才完成。 课堂上，老师会拿出一些点阵图让学生观察。学生们很快就会发现每行每列的点数相同，直接就得出平方数的概念。另外还有一种拐弯数法，从角开始一层层往外加也能得到平方数的结果。还有一种斜着数的方法也能得出同样的结果。通过这样的操作，学生们直观地感受到了数学的规律。 老师还会给学生们讲一个关于毕达哥拉斯和牧童的故事。这个故事告诉我们图形特征和算式结果之间的关系是怎样的。这种直观的方式让学生更容易理解数学模型。接下来老师会让学生们做一些分数相加的题目。比如1/2加1/4加1/8加1/16，很多学生一开始会用通分来算，但很快他们就会发现用图形模型更直观。 老师把题目难度升级到包含1/32和1/64的分数连加题时，画图的学生就更多了。有些同学发现和越来越接近1；有些同学用极限思想猜测无限加下去就是1。老师不会急着给出答案，而是让同学们在争论中体会到无限加数的和有上限，永远不会超过1这个结论。 一节课40分钟可能讲不完所有内容，但是可以把先猜后证、以形助数的数学文化种子播进学生的心里。当学生们愿意主动画图、用形解题时，他们就已经站在了数学文化的肩膀上了。剩下的精彩部分，我们可以在以后慢慢续写。