李群和李代数对自学广义相对论和微分几何的人来说，就像一道暗门。只要你能穿过它，宇宙的对称性就在你脚下展开；如果过不去，就算公式堆得再高，你也会觉得眼前一片漆黑。梁灿彬教授把这个难题拆成了60集短片，附录G第7集就专门讲“单参子群与指数映射”，这正是打开那道暗门的钥匙。单参子群其实就是李群里的“时间轴”，它把实数线塞到李群里面去。就像一根会变形的棒糖，实数线就是这根棒糖的芯子。单参子群的恒等元就是它在t=0的时候的位置，逆元则是t取负数的时候的情况。简单说，它把实数线的结构完整地搬进了李群里。指数映射的作用就是把李代数贴在李群上。回顾一下之前学过的内容：流形上的矢量场的积分曲线满足γ’(t)=A(γ(t))。对于左不变矢量场来说，无论你怎么左乘变换它都保持不变，就像背景音乐一样不变化。定理G-4-1告诉我们左不变矢量场肯定是完备的。证明的思路是：先取一条以ε为终点的积分曲线；利用左不变性把终点拉回到恒等元，再一路贴到负无穷远就能证明这条曲线可以延拓到整个实数轴上。所以你可以放心地让参数t跑遍所有实数。 单参子群和左不变矢量场之间存在着一一对应关系。换句话说，李群的时间轴和背景音乐之间是有一条对应道路的，指数映射就是这座桥梁。掌握了这个对应关系，你就能把抽象的李群翻译成具体的矩阵。接下来你就可以用指数映射把李代数贴在李群上了，正式进入广义相对论的坐标变换战场。